Докажите что 14 168 Кратно 28

14 168 кратно 28, если мы можем найти два идеальных квадрата, сумма которых равна 14 168. На первый взгляд эта задача кажется сложной, но давайте разберем ее на более мелкие этапы:

Во-первых, мы знаем, что любое число может быть представлено в виде суммы нечетного числа идеальных квадратов (т.е. чисел без повторяющихся цифр). Например, 973 = 5^2 + 3^2 + 1^2; точно так же, 1009 = 7^2 + 3^2 + 1^2 и так далее. Итак, не теряя общности, мы можем предположить, что наше неизвестное число начинается с "1".

Далее, поскольку 28 является простым числом, его множителями являются только оно само и 1. Следовательно, каждое ненулевое целое число может быть записано однозначно в одной из этих форм: n= kl, где k и l - целые числа, такие, что kl заканчивается на '8', или n=k (l +4), где k - целое число, а l заканчивается на '4'. Используя это свойство, мы видим, что существует пара идеальных квадратов, сумма которых равна 14 168. В частности, мы обнаружили, что 14 = 2 ^ 2 + 1 ^ 2 и 168 = 2^2 + 8^2, таким образом, их сумма действительно равна 14 168.

Итак, доказав, что 14 168 кратно 28, мы фактически доказали, что любое целое число может быть представлено как сумма двух различных идеальных квадратов (поскольку каждое число, начиная с 1, может быть представлено либо как все единицы, либо как ровно два различных идеальных квадрата).